Liczba pi, najsłynniejsza liczba świata – stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy – to w przybliżeniu 3,14. Tak w notacji amerykańskiej zapisuje się datę 14 marca i dlatego dziś obchodzimy Dzień Liczby Pi. W ten dzień w roku 1879 urodził się także Albert Einstein, najsłynniejszy uczony świata. Mamy więc podwójne święto.
Liczba Pi powszechnie zapisywana za pomocą greckiej litery π od XIX wieku (symbol wprowadził w 1706 roku William Jones), jest stałą matematyczną, której dokładnej wartości nikt nie jest w stanie spamiętać.
Nawet komputer z gigantyczną pamięcią dyskową. Ponieważ Pi jest liczbą niewymierną. Czyli taką, której wartości ułamkowej nie da się zapisać za pomocą skończonej liczby cyfr, albo mówiąc inaczej nie można jej dokładnej wartości zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych. Udowodniono to dopiero w XVIII wieku. Pi jest także liczbą przestępną.
Dlaczego poruszam ten temat? Dla rozruszania umysłu i dlatego, że dziś mamy dzień liczby Pi. Co prawda to amerykańskie święto, ale nie zaszkodzi poznać się bliżej.
π czyli dwa słupki i poprzeczka
Wierzcie lub nie, ale zdarzają się ludzie, którzy nie mają pojęcia czym jest Pi. Słyszeli o tym, podejrzewają, że to pewnie modne określenie, albo imię bohatera jakiegoś filmu. Wstyd, szczególnie, gdy z taką niewiedzą trafi się na studia… Ale już nie jest wstydem nie wiedzieć, że na 100 tysięcznym miejscu po przecinku jest cyfra 1 lub że w pierwszym milionie cyfr nie ma sekwencji 123456.
Zresztą konia z rzędem temu, kto na co dzień pamięta, że Pi rozwijamy dziesiętnie w następujący sposób.
π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097…
i tak można w nieskończoność.
Niestety są tacy zapaleńcy, a pomocne mogą być tu na przykład tak zwane pi-ematy, czyli wierszyki, w których liczba liter w każdym słowie odpowiada kolejnej cyfrze rozwinięcia Pi.
Zagadnienie zapisu dokładnej wartości liczby Pi jest zresztą dużo ciekawsze niż zapisanie dziesiętnie 1/3, która przekłada się na 0,3(33). Same trójki to nic ekscytującego, ale w przypadku Pi obliczanie kolejnych liczb jest/było wyzwaniem. Zresztą pewnie sami korzystaliście z benchmarka, który sprawdzał wydajność komputera poprzez obliczanie kolejnych cyfr dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.
Jak dokładnie warto znać Pi, by Wszechświat się nie zawalił
Jeśli macie w pamięci troszkę wolnego miejsca, a chcecie mieć pewność, że żadne wykonywane przez was obliczenie nie będzie przyczyną nieszczęścia, warto zapamiętać około 40 cyfr po przecinku. Pozwala to podobno określić obwód obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do rozmiaru pojedynczego atomu. Większej precyzji chyba w życiu nie będzie nam potrzeba, co oznacza że wszelkie dzisiejsze wyliczenia to sztuka dla sztuki.
NASA wystarczy nawet kilkanaście cyfr rozwinięcia liczby Pi, by nie zepsuć Międzynarodowej Stacji Kosmicznej i innych pojazdów/sond kosmicznych. A fundamentalne stałe fizyczne i matematyczne, wyliczane przez komitet CODATA, wykorzystują znajomość Pi do 32 cyfr po przecinku.
Pi jest często obecne w stałych, a zarazem różnych wzorach. Na przykład przenikalność magnetyczna próżni wynosi 4 π * 10-7. Poprzez nią Pi pojawia się w stałej dielektrycznej czy jako stałej kulomba. Liczba Pi pojawia się też w formułach na promień atomu czy rozmiar elektronu. Jest czynnikiem w stałej kosmologicznej i we wzorze opisującym zasadę nieoznaczoności Heisenberga.
W matematyce Pi jest czynnikiem, który pojawia się jako wynik licznych całek, suma szeregów itp. Jest stosowana w rachunku z użyciem liczb urojonych.
Liczba Pi jest też symbolem, że wkroczyliśmy w świat wielkiej matematyki. Każdy chyba pamięta emocje, które towarzyszyły poznaniu w szkole wzoru na obwód okręgu czy powierzchnię koła.
Ręcznie lub maszynowo – sposoby wyliczania Pi
Można zajrzeć na tę stronę, gdzie znajdziemy rozwinięcie liczby Pi. Jeśli lubicie wyzwania, z którymi związek ma wasz wewnętrzny INTELekt, to możecie podjąć się obliczenia liczby Pi we własnym zakresie.
Najpierw proste przybliżenie czyli iloraz 22/7 (z tego też powodu 22 lipca to dzień przybliżenia liczby Pi, znawcom historii PRL kojarzący się jako data podpisania manifestu PKWN, co raczej kompletnie nie ma nic wspólnego z matematyką :)).
Rozwińcie ten ułamek tak by uzyskać przybliżenie przynajmniej do 6 cyfr po przecinku. I to bez kalkulatora. Wyszło 3,142857 czyli nie do końca tyle ile powinno być. Tak precyzja do dwóch liczb po przecinku to za mało, ale to i tak bliższe prawdzie niż wbijane w szkole w nasze głowy 3,14. Dokładniejszy będzie iloraz 355/113, który daje 3,141592.
Teraz sięgnijcie po takie wyrażenie jak poniżej. Miłej zabawy.
Sposobów na wyliczenie Pi jest bardzo wiele, wszystkie sprowadzają się do użycia formuł (stosujących sumy, szeregi), których wynik jest znany i stanowiący ułamek, potęgę Pi lub pewną funkcję tej stałej matematycznej. Pomysły na obliczenia znajdziecie na przykład na stronie Wolfram.
Zależnie od typu formuły musimy wyliczać po kolei wszystkie cyfr po przecinku, by poznać kolejną, albo ograniczyć się do wyliczenia tylko konkretnej cyfry po przecinku.
Dokładność wyliczenia liczby Pi
W przypadku algorytmów komputerowych uruchomionych na powszechnie dostępnym sprzęcie największa dotychczas uzyskana precyzja to prawie 22,5 biliona cyfr po przecinku. Uzyskał ją 11 listopada 2016 roku Peter Trueb. Jeśli chcecie się z nim zmierzyć, najlepiej sięgnąć po formułę zawartą w aplikacji y-cruncher i zaopatrzyć się w co najmniej cztery procesory Xeon E7-8890 v3 (144 wątki), worek modułów RAM, kilkadziesiąt TB pamięci masowej dla przechowania wyników i sporo cierpliwości. Nawet przy takiej maszynie, pobicie rekordu zajmie wam kilka miesięcy.
Weryfikacja wyników trwa zwykle krócej, lecz pragnienie udowodnienia pomyłki przez osoby weryfikujące różne wyliczenia jest ogromne. Jednym z najsłynniejszych pechowców jest chyba William Shanks, który poświęcił kawał życia, by ręcznie policzyć 707 cyfr rozwinięcia Pi (w 1854 roku potwierdzono poprawność do 500 cyfry) i pomylić się przy 528 cyfrze (dalsze cyfry były w związku z tym błędne), co udowodniono dopiero ponad 70 lat później.
I pomyśleć, że starożytni Babilończycy zadowalali się wartością 3,125. Egipcjanie byli już dużo bardziej dokładni stosując wartość 3,143. Zresztą wiele budowli egipskich, z piramidami na czele, kryje dobrze przybliżoną wartość Pi w różnych relacjach pomiędzy wymiarami tych obiektów. Jeszcze dokładniejszy był Archimedes, stąd nazwa – stała Archimedesa.
Z kolei mówi się, że Biblia jest mniej precyzyjna, gdyż z 1 Księgi Królewskiej (7:23) można wywnioskować, że Pi równe jest 3. To może być jednak wynik zaokrągleń stosowanych przez autora nie świadomego jakie wywoła to zamieszanie w naszych czasach. Z kolei pierwszy nowożytny wzór pozwalający obliczyć Pi to nieskończony iloczyn Johna Wallisa z 1655 roku. Tego samego, który wprowadził stosowane dziś matematyczne oznaczenie nieskończoności.
W 1949 roku udało się wyliczyć 2000 cyfr dziesiętnego rozwinięcia Pi za pomocą poniższej formuły (która wykorzystuje szereg Taylora dla przybliżenia wartości funkcji arctan), a w 1961 roku z pomocą komputera IBM 7090 i poprawionej formuły poznano 100 tysięcy cyfr. W 1989 roku ponownie komputer IBM 3090 złamał barierę miliarda cyfr rozwinięcia. W 2002 roku policzono ponad bilion cyfr.
Z kolei w 1985 roku próba obliczenia pierwszych 29 milionów cyfr rozwinięcia Pi, pozwoliła wykryć błędy sprzętowe w superkomputerze Cray-2. Odkrycia dokonał David H. Bailey, twórca nowoczesnych algorytmów obliczających Pi. Rekordy obliczania Pi za pomocą superkomputerów notowano do 2009 roku. Potem notowane rekordy uzyskiwane są na zwykłych komputerach – obliczenia trwają dłużej, ale też jest to większe wyzwanie niż puszczenie obliczeń na jednym z literów zestawienia TOP500.
Jeśli zastanawiacie się co oznaczają wartości w kolumnie „digits”, to nie są to cyfry dziesiętnego rozwinięcia Pi wyliczone metodą ręczną, ale cyfry spamiętane i powtórzone bez pomyłki. Obecny rekord świata to zapamiętanie 70030 cyfr rozwinięcia dziesiętnego, których recytowanie zajęło ponad 17 godzin.
Kwadratura koła
Z faktem nieskończoności rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, wiąże się tak zwane zagadnienie kwadratury koła. Często stosujemy je gdy chcemy podkreślić nierozwiązywalność danego problemu, ale co to tak naprawdę jest ta kwadratura.
Otóż chodzi tutaj o fakt, że przekształcenie okręgu o danej powierzchni w kwadrat o takiej samej powierzchni nie jest możliwe w skończonej liczbie geometrycznych działań. Czyli takich, które wykorzystują cyrkiel i linijkę bez podziałki. Możemy zbliżać się do rozwiązania, podobnie jak w problemie, w którym każdy następny krok to pokonywanie połowy pozostałej do przebycia drogi. Lecz nigdy nie osiągniemy celu, zawsze trochę pozostanie.
Pi sprawia, że Wszechświat jest prawdziwy
To nieco filozoficzne sformułowanie, które stanowi kontrargument dla tez, że nasz Wszechświat może być komputerową symulacją. Jednakże, skoro w naszym świecie istnieje tak piękna liczba jak Pi, która jest nieskończona i nie ma reguły, która pozwoliłaby ją przechować całą w skończonej ilości pamięci, to nasza rzeczywistość musi być prawdziwa.
Pokrętne to tłumaczenie, ale potrafi poprawić humor. Nawiązuje do niego jeden z odcinków Star Trek TOS, w którym Spock każe złowrogiemu komputerowi podać ostatnią cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi.
Ukryte piękno liczby Pi
Liczba Pi od dawna była inspiracją dla ludzi zajmujących się wiedzą paranaukową czy artystów, ba jej nazwa pojawiła się nawet w nazwie platformy Raspberry Pi. Zwolennicy metafizyki, zapewne ucieszą się, że już wśród pierwszych 100 milionów cyfr rozwinięcia liczby Pi znajdą każdą pięciocyfrową liczbę, a z prawdopodobieństwem prawie 2/3 swoją datę urodzenia w formacie DDMMYYYY. Czasem Pi przywołuje się jako liczbę, która podobno kryje tajemnice Wszechświata w swoim dziesiętnym rozwinięciu. Nic zaskakującego, skoro Pi kryje się w licznych formułach fizycznych.
W codziennym życiu liczba Pi poza występowaniem we wzorach na obwód i powierzchnię koła, przydaje się jako wartość ułatwiająca różne obliczenia. Wystarczy znajomość do dwóch cyfr po przecinku. I tak przybliżona liczba sekund w roku to Pi * 107, a średni stosunek długości doliny rzeki do długości rzeki równy dokładnie Pi.
Liczba Pi jest nierozłącznie związana z rachunkiem trygonometrycznym, a ten z kolei stosowany jest w elektronice, fizyce falowej, medycynie i astronomii.
Pi pojawia się też w rachunku prawdopodobieństwa. Dla przykładu liczba 6/Pi2 to prawdopodobieństwo, że dwie losowo wygenerowane liczby nie będą miały wspólnego dzielnika innego niż jeden – czyli są liczbami pierwszymi.
I bardziej głupkowate skojarzenie, które pomoże zapamiętać wzór na objętość walca tudzież powierzchnię koła – Pizza, gdzie „z” to promień pizzy, a „a” jej wysokość.
To tyle na dziś o liczbie Pi. Ach byłbym zapomniał, 14 marca to także rocznica urodzin Alberta Einsteina.
źródło: http://www.benchmark.pl
